Profesor Responsable: Dr. Ricardo Podestá

El objetivo de este curso es introducir a los estudiantes en la teoría de ecuaciones sobre
cuerpos finitos. Se buscará familiarizarlos con el tipo de problemas y técnicas utilizadas
en el área.

La teoría de códigos es una área central en la teoría de información, de numerosas y
centrales aplicaciones a la tecnología de uso diario. El curso será totalmente
autocontenido e involucra los conceptos y técnicas de cuerpos finitos y álgebra
conmutativa. En el, se combinan resultados clásicos de la teoría y también en resultados
propios obtenidos en conjunto con Denis Videla. La idea es introducir el conocimiento
básico del área de códigos pero a la vez mostrar algunos posibles temas de investigación
conectando con áreas como la teoría de grafos, sumas exponenciales, curvas algebraicas
y formas cuadráticas.
Los objetivos del curso son:
• introducir a los alumnos a la teoría de códigos autocorrectores,
• mostrar como el álgebra y la combinatoria se fusionan para producir códigos
sencillos de gran utilidad,
• introducir diversas técnicas para calcular el espectro de un código cíclico.

 

PROGRAMA:
Clase 1: Códigos lineales. Códigos autocorrectores sobre cuerpos finitos. Codificación y
decodificación. Códigos lineales. Parámetros (longitud, dimensión, distancia mínima).
Código dual. Matrices generadoras y de paridad. Cotas. Códigos de Hamming y de
Golay.
Clase 2: Identidades de MacWilliams y espectro de códigos. Dualidad. Traza y teorema
de Delsarte. Identidades de MacWilliams. Polinomios de Krawtchouk. Espectro de
códigos.
Clase 3: Códigos cíclicos. Códigos cíclicos como ideales. Polinomios generador y de
chequeo. Polinomios ciclotómicos. Códigos cíclicos irreducibles. Códigos BCH y Reed-
Solomon.
Clase 4: Espectro vía sumas exponenciales y formas cuadráticas. Espectro de códigos
cíclicos vía sumas exponenciales. Sumas de Gauss y de Jacobi. Ecuaciones diagonales.
Formas cuadráticas y traza. Códigos cíclicos definidos por formas cuadráticas.
Clase 5: Espectro vía grafos de Paley. Grafos de Cayley. Grafos de Paley generalizados.
Espectro y estructura. Códigos cíclicos irreducibles asociados. Espectro de códigos
cíclicos.